学者原创22

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学者原创22

更新时间：2016-11-17

我在这篇《潮汐的科普与计算（更新）》中重新计算了潮汐高度随角度的变化。计算思路是，先计算潮汐力，也就是外天体引力在地心外一点的引力与在地心处引力的差，然后计算这个潮汐的势。由于水平面是等势的（否则水会从高势流向低势），整个水面的形状也就计算出来了。

科学网的徐教授邀请我查看他的一个系列《看潮汐奇观，读趣味物理》博文，我拜读之后，觉得非常精彩。其中关于地球上潮汐的成因。他写道：【潮汐作用力沿地球径向的分量是全部被地球的地心引力相抵消...月球的潮汐作用力对海水的切向分量...它作用在海水的每一处，分别推动前后半球上的海水从上、下两个方向朝中间赤道方向涌挤，这两股海水流动各不相让，因而推高了海平面，这才是引起潮汐的真正原因。】( 粗体为我加上）。

也就是说，徐教授的科普中，潮汐力的径向分量不起作用，起作用的是切向分量，把水挤推高了。而我的计算中，则似乎恰恰相反，在我的潮汐势的计算中，切向分量没有贡献，径向才有贡献 --- 因为势的计算是从地心算到地面一点，力点乘位移。从物理上看，徐教授的观点很直观、很有道理。两者是不是矛盾呢？我们不妨先按照他的思路进行计算。

我计算出的潮汐力为，这个应该都是一样的：

$\frac{\vec{f}(\vec{r})}{Gm} =\frac{r}{D^3} \left(2\cos\theta \hat{x} - \sin\theta\hat{y}\right)$

单位径向矢量为

$\hat{r} = \cos\theta \hspace{1mm} \hat{ x} + \sin\theta \hspace{1mm} \hat{y}$

单位切向矢量为

$\hat{\theta} = - \sin\theta \hspace{1mm} \hat{ x} + \cos\theta \hspace{1mm} \hat{y}$

1. 先回顾我的计算

潮汐势：

$V(\vec{r}) =- \int_{0}^{r} \vec{f} \cdot d\vec{r} = - Gm\frac{2 \cos^2\theta - \sin^2\theta}{D^3}\int_0^r r \hspace{1mm}dr \\ = -Gm\frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right)$

显然上面的势的计算中，潮汐力的切向分量没有贡献。由此计算出潮汐高度：

$H_{tide}(\vec{R}) =\frac{m R^4}{4M_e D^3} (3\cos 2\theta+1)$

其中 $m$ 是造成潮汐的天体质量， $M$ 为地球质量， $R$ 为地球半径， $D$ 为地球到天体的距离， $.theta$ 是该地点与地心的连线与地心--天体连线的夹角。由此公式计算出月球产生的最大潮汐高度为40厘米，太阳引发的潮汐高度为16厘米。

其随位置（角度）变化图示如下

由上可见，在角度为0处（也就是正对月球）潮汐高度为 1，但在90度处，潮汐高度不是零，而是 -1/2。两者相差 3/2.

2. 现在我们用徐教授的概念进行计算

由于潮汐力的切向分量（也就是海面的水平分量），在力的方向水要高出一点，这样高出的水的部分产生的压力才能抵消水平潮汐力。考虑一块面积为 A、厚度为 $R d\theta$ 的水（因为地球半径远大于水深、扇梯形可近似为长方形），令水涨 dh 压力抵消潮汐力，我们有（左边是水块受到潮汐力，右边是初中物理的水压强公式乘以面积）：

$\rho A R d\theta f_{\theta} = A \rho g dh$

两边的水的密度\rho 与面积A消去了。因此，

$dh = R f_{\theta} d\theta /g$

因此，从90度到 \theta 度，水总共涨高量为：

$\Delta H= \int dh = R/g \int_{\pi/2}^\theta f_{\theta} d\theta \\ =\frac{Gm R^2}{gD^3} \int_{\pi/2}^\theta (-2\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta) d\theta\\ = \frac{3mR^4}{4M D^3} (\cos 2\theta+1)$

显然，我的计算与用徐教授的概念进行计算，两者得出的水面高度差完全一致：比如0度处与90度处高度差，两个结果都是 3/2 。不同的是，用势的计算中得出了水的绝对高度变化，而不只是高度差。

3. 为什么两种方法会得到同样的结果

为什么两个计算会得到同样的结果呢？稍微想想发现道理非常简单。在我的潮汐势计算中，是直接从地心到地表一点计算，一条直路。但我也可以走一条弯路：先从地心垂直往上到地球表面，然后沿着表面转到角度的一点，两条路计算出来的势应该是一样的。这就是所谓保守力，势只与位置有关与路径无关。但在后一条路中，第一部分垂直向上潮汐力做功是固定的，与角度无关，全部与角度有关的贡献来自后半部分切向力的贡献。换言之，以90度处为零点沿着地球表面计算切向潮汐力的势，与以地心为零点用径向潮汐力计算势，两条路是一样的，只是势能零点不同。

殊途同归！