面对同样的问题，大多数情况下现实与数学并不能完全对应，例如随机事件，现实中的随机事件很少具备等可能性特征，我非常赞成这句话：“客观中的任意概率都存在物理的能量对应的必然”，这句话非常深刻，也很好说明了为什么现实中的随机事件通常不是等可能的。例如，正常情况下，一个班级或年级的学生考试成绩应服从正态分布，这个分布并不是数学证明出来的，而是统计推断出来的。但数学中的随机事件通常都要做等可能性假设，也就是遵循所谓的无差别原则，为什么做这种假设是不言自明的，如果不做这种假设，很多数学问题将变得异常复杂，甚至无法计算，当然，这种假设也给概率学家带来了不少困惑，例如前面提到的贝特朗悖论。

这不等于说数学在现实中无能为力，事实上，数学在自然科学、社会科学、日常生活甚至军事上发挥了举足轻重的作用。例如，第二次世界大战期间，数学家Von.Neumann担任了美国原子能委员会的主席，世界上第一颗原子弹的爆炸半径就是他带领的数学小组计算出来的。虽然现实中的随机与数学中的随机有着很大不同，但这并不影响概率论作为一门数学理论在现实中发挥重要的作用，例如概率在军事上曾经发挥了非同小可的威力。很多年以前听说过这样一个故事，第二次世界大战期间，数学家们根据德国在各个战场上的兵力部署估算出德国的整体兵力，这个数字与很多年后的档案解密公布的数字非常吻合。还有一个例子是说德国人的，二战期间，德国人设计了一种主要用来轰炸伦敦的飞弹，它是一种小型无人驾驶飞行器，由一个简易的冲压式喷气发动机驱动，时速575公里，射程240公里。它们由斜面式发射架指向伦敦发射，当燃料耗尽时落向地面，威力相当于含有1吨爆炸物的炸弹。在发射的8600枚飞弹中，大约有一半穿过了防御阵地，其余的被高射炮和战斗机击落。数学家通过泊松分布，可以预测下一波炸弹的落点，非常准确。可见，概率的现实意义是毋庸置疑的。

纯数学的随机事件大多带有人为因素，正由于此，站在不同的角度便产生了不同的概率问题。在中学数学中，除了古典概型基本没有争议之外，几何概型争议不断，出现这些争议的原因是什么？真的是谁对谁错的问题吗？我们根据什么来判断哪个正确哪个错误？在这个问题上，中学教学中颇多自相矛盾之处。很多人持这种观点，如果是从一点出发的射线或直线，则合理的随机设定是角度随机，如果是看集合里的点，则合理的随机设定是点随机，因而前者“角度”具有等可能性，后者“点”具有等可能性，例如第一篇博文中所举例子中所谓的正确解答便是设定角度随机。然而，有意思的是，教材中类似的问题又设定点随机，例如飞镖问题便是假定投中靶子中的每一点是等可能的。我们知道，投射飞镖也可以近似看成从一点出发的射线（实际是抛物线），按照所谓的合理设定，应该以角度作为随机变量，为什么教材中偏偏设定点随机呢？到底谁对谁错？有人撰文说教材中的靶子问题不是均匀分布，你根据什么说不是均匀分布？实验的结果还是证明的结果？恐怕都不是，你也是根据所谓的角度随机来作为判断的依据。那么你这样的依据是符合实际还是符合数学上的某种原则或公理？如果都不是，你认为教材处理错误未免太武断了。事实上，现实中飞镖问题的确不可能是均匀分布，但这个不均匀性既不是来自数学证明，也不是来自数学的所谓合理性，而是来自背后的物理能量，因为投飞镖者总是希望投中目标，主观上会控制飞镖的走向，所以，不同的人会有不同的概率分布。

中学几何概型要不要保留？所引起的争议是人为的还是客观的？我认为几何概型可以保留，但要搞清楚几个问题：1、教几何概型的目的是什么？2、教几何概型应遵循什么原则？3、争议是不是必然的？如果这几个问题弄清楚了，也就清楚有没有必要教几何概型了。

1、现实中出现的随机事件中样本空间并非都是离散甚至有限的，连续型的样本空间的确存在，让学生了解这一点没有坏处，所以我主张中学阶段如果保留概率，也应该保留几何概型。

2、教几何概型的目的是为了让学生了解除了古典概型之外，还有样本空间更复杂的概型，但重在理解，不宜太复杂，以投飞镖为例，如果不设定点随机，而是设定角度随机，问题将变得较为复杂，以下图为例：

如果设定点随机，直接计算相关面积就可以了，但如果设定角度随机，情况则非常复杂，有几个学生能计算出来？至少需要微积分的帮助。这就引出了第三个问题：

3、争议是不是必然的？既然都是人为的预设，而且都缺少现实或科学的依据，所谓设定的合理性不过也是经验之谈，那么根据从简原则，可以根据需要设定相应的随机事件。但不管如何设定随机性，应该在问题中明确说明，这样自然不会产生争议。正如有些几何概型中假定飞镖投中某个区域的概率是1/4，投中另一个区域的概率是1/3，这种假设的根据是什么？如果是没有依据的纯粹数学游戏，为什么射线问题不可以设定点随机？关键不在于你如何设定，而是你有没有明确说明随机事件中的随机是如何设定的，只要说明了，一切的争议自然都烟消云散。

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作者：曹广福（科学网博客）

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